Φυσική και σοκολάτα.

Μέτρηση ταχύτητας φωτός με την βοήθεια μιας σοκολάτας.

  • Αφαιρέστε την περιστρεφόμενη βάση πλατό από τον φούρνο μικροκυμάτων και αντικαταστήστε το με ένα πιάτο που θα περιέχει την σοκολάτα (έτσι ώστε το πιάτο να μην περιστρέφεται).
  • Θερμάνετε την σοκολάτα μέχρι ν’ αρχίσει να λιώνει.

Θα παρατηρήσετε μερικά λιωμένα θερμά σημεία και ορισμένα ψυχρά στερεά σημεία στη σοκολάτα. Πως εξηγούνται όμως αυτά τα σημάδια;

Όταν ανάβουμε τον φούρνο μικροκυμάτων, τα ηλεκτρικά κυκλώματα στο εσωτερικό του δημιουργούν μικροκύματα, δηλαδή ηλεκτρομαγνητικά κύματα με συχνότητα περίπου 2,5 Giga Hertz

Τα κύματα αυτά ανακλώνται κατά τη διαδρομή τους στα απέναντι τοιχώματα του φούρνου και έτσι σχηματίζονται στο εσωτερικό του στάσιμα κύματα.

 Τα σημεία όπου παρατηρούνται τα θερμά σημάδια λιωμένης σοκολάτας, είναι τα σημεία μεγίστου πλάτους ταλάντωσης του στασίμου κύματος (κοιλίες).

 Ενώ τα ψυχρά σημεία στερεής σοκολάτας είναι τα σημεία ελαχίστου πλάτους (δεσμοί) .

Η θεωρία των στάσιμων κυμάτων προβλέπει ότι, η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών ή δεσμών είναι ίση με το μισό του μήκους κύματος λ, των αρχικών κυμάτων.

  • Αν μετρήσετε τώρα την απόσταση μεταξύ των θερμών σημαδιών έχουμε το μισό μήκος κύματος των μικροκυμάτων του φούρνου (λ/2). 

Από την άλλη μεριά για κάθε κύμα ισχύει η θεμελιώδης εξίσωση του κύματος, η οποία προβλέπει ότι, η ταχύτητα διάδοσης του κύματος c, η συχνότητα του κύματος f, και το μήκος κύματος λ, συνδέονται μεταξύ τους με τη σχέση:

c = λ*f  

  • Με απλή αντικατάσταση βρίσκεται την ταχύτητα του φωτός και επίσης η σοκολάτα τρώγεται κανονικά!

Φυσική και Μικροκύματα

Ας δούμε από μεριά φυσικής με απλά λόγια πως δουλεύει;

Ο φούρνος μικροκυμάτων είναι αναπόσπαστο κομμάτι της σύγχρονης κουζίνας, επειδή τα τρόφιμα θερμαίνονται γρήγορα κάτι που όλοι αναζητούν.

Πότε ανακαλύφθηκε ο φούρνος μικροκυμάτων;

Το 1946, ο μηχανικός Dr. Percy LeBaron Spencer, ο οποίος εργάστηκε για την εταιρεία Raytheon, εργαζόταν σε μαγνητόνια.

Μια μέρα στη δουλειά του είχε μια σοκολάτα στην τσέπη του και διαπίστωσε ότι αυτή είχε λειώσει, έτσι συνειδητοποίησε ότι τα μικροκύματα με τα οποία δούλευε είχαν προκαλέσει την τήξη του.

Πότε βγήκε στην αγορά;

Ο φούρνος μικροκυμάτων εισήχθη για πρώτη φορά το 1967 από την Amana Corporation. Στα τέλη της δεκαετίας του 1970, η χρήση τους εξαπλώθηκε σε εμπορικές και οικιακές κουζίνες σε όλο τον κόσμο.

Ποια συσκευή παράγει τα μικροκύματα;

Στο φούρνο μικροκυμάτων τα μικροκύματα παράγονται από μια συσκευή που ονομάζεται magnetron. Ο ρόλος του είναι αξιοποιώντας τον ηλεκτρισμό να παράγει μικροκυμάτα.

Ποια είναι η συχνότητα των κυμάτων και το μήκος κύματος των μικροκυμάτων;

Τα μικροκύματα είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα με συχνότητα περίπου 2,45 GHz και μήκος κύματος περίπου 12,2 cm. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι στο ηλεκτρομαγνητικό φάσμα, πέφτουν πριν από το υπέρυθρο φως αλλά μετά από ραδιοκύματα.

Πως δουλεύει τελικά;

Τα κύματα που παράγονται από το magnetron βρίσκονται στην κατάλληλη συχνότητα για να διεισδύσουν βαθιά μέσα στο φαγητό, στο οποίο θερμαίνουν κυρίως τα μόρια νερού.

Τα μόρια του νερού φορτίζονται θετικά στο ένα τους άκρο και αρνητικά στο άλλο έχοντας αποτέλεσμα να περιστρέφονται εναλλάξ.

Μπορούμε να πούμε ότι το μόριο του νερού μοιάζει με το κεφάλι του Μίκυ Μάους.

Μπορούμε να φανταστούμε ότι το πρόσωπο του Μίκυ είναι το αρνητικά φορτισμένο άτομο οξυγόνου και τα αφτιά του τα μικρότερα, θετικά φορτισμένα άτομα υδρογόνου.





Το θετικά φορτισμένο άκρο του μορίου προσπαθεί να ευθυγραμμιστεί με το ηλεκτρικό πεδίο των μικροκυμάτων, αλλά επειδή το πεδίο αντιστρέφεται 2,5 δισεκατομμύρια φορές το δευτερόλεπτο, το μόριο του νερού στριφογυρίζει ταχύτατα, μία κατά τη φορά του ρολογιού και μία κατά την αντίθετη. Έτσι στην διάρκεια αυτής της κίνησης  αναπτύσσεται τριβή με αποτέλεσμα θερμότητα.

Γιατί κάποια σημεία από το φαγητό παραμένουν κρύα;

Μέσα στο θάλαμο λόγω της ανάκλασης των κυμάτων δημιουργούνται στάσιμα κύματα.

Αυτή η εποικοδομητική και καταστροφική συμβολή μεταξύ των μικροκυμάτων μπορεί να προκαλέσει στο φαγητό ανομοιόμορφη θέρμανση.

Εάν η συμβολή είναι ενισχυτική, το ηλεκτρικό πεδίο που προκύπτει σε αυτό το σημείο θα είναι μεγαλύτερο, και έτσι τα σωματίδια στο φαγητό θα αποκτήσουν περισσότερη κινητική ενέργεια και το φαγητό θα είναι θερμότερο.

Εάν η συμβολή είναι ακυρωτική το φαγητό παραμείνει κρύο σε αυτό το σημείο.

Αν σκεφτούμε ότι τα μικροκύματα έχουν μήκος κύματος περίπου 12,2 cm, οι αποστάσεις μεταξύ αυτών των δύο ακραίων είναι συνήθως μόνο μερικά εκατοστά.

Πως περιορίζουμε το πρόβλημα;

Το πρόβλημα αυτό προσπαθεί να λύσει η περιστρεφόμενη γυάλινη βάση, επάνω στην οποία τοποθετούμε το φαγητό αλλάζοντας συνεχώς τα σημεία ενισχυτικής και ακυρωτικής συμβολής, έτσι διασφαλίζεται ομοιόμορφη θέρμανση.

Γιατί τα σκεύη είναι κρύα και το φαγητό ζεστό;

Τα μικροκύματα δεν απορροφώνται σχεδόν καθόλου από στερεά που δεν περιέχουν νερό. Γι’ αυτό τα σκεύη δε θερμαίνονται τόσο, όσο το φαγητό που περιέχουν.

Γιατί ο φούρνος ζεσταίνει το φαγητό πιο γρήγορα από τον κανονικό φούρνο;

Επειδή ένας φούρνος μικροκυμάτων θερμαίνει ταυτόχρονα και το εσωτερικό και το εξωτερικό του τροφίμου.

Γιατί τα κατεψυγμένα αργούν να ξεπαγώσουν στον φούρνο μικροκυμάτων;

Όπως αναφέρω παραπάνω η αρχή της θέρμανσης τροφίμων σε φούρνο μικροκυμάτων βασίζεται στην ικανότητα του μορίου να περιστρέφεται.

Έτσι επιβάλλονται περιορισμοί στους τύπους των τροφίμων που μπορούν να θερμανθούν, για παράδειγμα, ο πάγος είναι ένα στερεό και έτσι τα μόρια του δεν μπορούν να περιστραφούν τόσο εύκολα όσο στο υγρό νερό.

Για αυτό αποφεύγουμε  τα κατεψυγμένα τρόφιμα να τα βάζουμε στο φούρνο μικροκυμάτων γιατί θερμαίνονται άνισα και λιγότερο αποτελεσματικά.

Αξιολόγηση και Παρέμβαση ΕΜΔ στη Ββαθμια εκπαίδευση

Οι Ειδικές Μαθησιακές Δυσκολίες έχουν πολλές αιτίες. Για το λόγο αυτό, δεν είναι εύκολη υπόθεση η διάγνωσή τους και κρίνεται απαραίτητη η διαφοροδιάγνωση.

Η διαφορική διάγνωση οδηγεί στην ανίχνευση ή ακριβέστερα στη διάγνωση αποκλείοντας άλλες διαταραχές, που κατά κανόνα παρουσιάζουν τα ίδια συμπτώματα. Για παράδειγμα αν ένας έφηβος παρουσιάζει μειωμένη σχολική επίδοση ενώ δεν υπάρχει πρόβλημα στο οικογενειακό και σχολικό περιβάλλον που μεγαλώνει, πρέπει να αναζητηθούν και να ανιχνευτούν οι αιτίες αυτής της υποεπίδοσης.

Υπάρχουν παιδιά που η δυσκολία τους οφείλεται στην ΔΕΠ-Υ (Διαταραχή Ελλειμματικής Προσοχής και Υπερκινητικότητας), στη Δ.Α.Φ. (Διαταραχή Αυτιστικού Φάσματος),

στις Ειδικές Μαθησιακές Δυσκολίες, στα Προβλήματα Λόγου, σε ελαφριά Νοητική Υστέρηση ή πιθανά σε Αισθητηριακή μειονεξία (Όρασης & Ακοής). Επίσης πρέπει να σημειωθεί ότι σε αρκετές περιπτώσεις υπάρχει συννοσηρότητα.

Αξιολόγηση και Παρέμβαση ΕΜΔ στη Ββαθμια εκπαίδευση

Οι αιτίες των Ειδικών Μαθησιακών Δυσκολιών εξαφανίζονται όταν περνούν τα χρόνια; Η έγκαιρη και σωστή ανίχνευση και παρέμβαση στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση έχει αποκαταστήσει τις αδυναμίες των παιδιών της εφηβείας;

Γενικά, είναι σωστή η άποψη ότι οι Ειδικές Μαθησιακές Δυσκολίες όσο πιο γρήγορα διαγνωστούν και αντιμετωπιστούν εκπαιδευτικά τόσο καλύτερα θα είναι τα αποτελέσματα. Όταν, για παράδειγμα ένας μαθητής στην Γ΄ δημοτικού παρουσιάζει ισχυρή απόκλιση σε ακαδημαϊκό επίπεδο από τον μέσο όρο της τάξης του, πρέπει να διαπιστωθεί αν υπήρξε στο παρελθόν καθυστέρηση στην έναρξη ομιλίας και χρειάσθηκε λογοθεραπεία, ή και εργοθεραπεία, ιστορικό στην οικογένεια με Δυσλεξία, Δυσαριθμησία. Στη δεδομένη χρονική στιγμή δηλαδή στη ηλικία των 9-10 χρόνων, πρέπει σε συνεννόηση γονείς και εκπαιδευτικοί να ζητήσουν διάγνωση από ΚΕΔΔΥ ή Ιατροπαιδαγωγικό Κέντρο. Άρα, ενώ στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση χρειάζεται και ίσως επιβάλλεται καταρχήν ο προβληματισμός και στη συνέχεια η διάγνωση και η παρέμβαση, γιατί πραγματικά ισχύει το: «όσο νωρίτερα τόσο καλύτερα», όμως δυστυχώς κυριαρχεί η λανθασμένη άποψη τόσο στην κοινωνία όσο και στους κρατικούς φορείς, ότι όταν τα παιδιά έχουν υποστηριχθεί στο στάδιο της παιδικής ηλικίας (δημοτικό σχολείο), τότε είναι περιττή η εκπαιδευτική στήριξη στο στάδιο της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης. Το μεγαλύτερο μέρος της βιβλιογραφικής έρευνας καθώς και η υλοποίηση προγραμμάτων παρέμβασης, απευθύνονται σε μικρότερους μαθητές με ειδικές μαθησιακές δυσκολίες. Η επικρατούσα άποψη ήταν ότι αν η παρέμβαση πραγματοποιηθεί σε μια νεαρή ηλικία, πολλές από τις εκδηλώσεις θα ελαχιστοποιηθούν ή θα αποφευχθούν συνολικά κατά τα επόμενα έτη.

Στο συνηθισμένο ερώτημα για το αν τα φροντισμένα παιδιά θα απαλλαχθούν από τις Ειδικές Μαθησιακές Δυσκολίες όσο μεγαλώνουν, η απάντηση είναι ότι οι μαθησιακές δυσκολίες δεν εξαφανίζονται με τον καιρό. Είναι μια κατάσταση εφόρου ζωής. Ξέρουμε ότι τα προβλήματα που εμφανίζονται στη γλώσσα, στα μαθηματικά και σε άλλους τομείς θα συνεχίσουν να υπάρχουν, πιθανώς βελτιωμένα, αφού θα έχει παρασχεθεί κατάλληλο εξατομικευμένο πρόγραμμα παρέμβασης.

Οι πιο συνηθισμένες ενδείξεις ύπαρξης ειδικών μαθησιακών δυσκολιών σε παιδιά στο γυμνάσιο & στο λύκειο είναι οι εξής:

Στην Ανάγνωση-Γραφή:

  • Τα παιδιά εξακολουθούν να διαβάζουν λάθος τις λέξεις, ή αντικαθιστούν λέξεις με άλλες παρόμοιες και κάπου-κάπου παραλείπουν ολόκληρες γραμμές. Επίσης κάνουν αρκετά ορθογραφικά λάθη, έχουν φτωχό και περιορισμένο λεξιλόγιο. Παρατηρούμε αργό ρυθμό στη γραφή, ακόμα και στην αντιγραφή, προτάσεις χωρίς ορθή δομή (συντακτική) ή νόημα.
  • Κατανόηση: Δυσκολία στη σημασιολογική κατανόηση των λέξεων. Δυσκολία στη σύνταξη περίληψης. Δυσκολία στη απαρίθμηση/ αφήγηση γεγονότων με σωστή χρονική σειρά.

Στα Μαθηματικά:

Υστερούν στις λεκτικές δεξιότητες (για την επεξεργασία των αριθμολέξεων, την αποκωδικοποίηση της μαθηματικής ορολογίας, την ανάγνωση και κατανόηση λεκτικών προβλημάτων ή εκφωνήσεων των ασκήσεων), η μνήμη για την απομνημόνευση βασικών αριθμητικών δεδομένων, διαδικασιών, κανόνων, τύπων, συμβόλων (Καραγιαννάκης, 2012). Δυσκολία στην αντίληψη της ποσότητας, στη σύνδεση ποσότητας συμβόλων, σύγχυση στην εφαρμογή των μαθηματικών συμβόλων, οπότε και στην ορθή μαθηματική πράξη. Σύγχυση διαδικασιών και βημάτων στην άλγεβρα επίσης μειωμένη οπτικοχωρική αντίληψη στη γεωμετρία και στις γραφικές παραστάσεις.

Μεγάλη δυσκολία στην κατανόηση των αφηρημένων εννοιών, τόσο στην γλώσσα όσο και στα μαθηματικά.

Στη μνήμη:

Δυσκολία στην ανάκληση γεγονότων π.χ. προπαίδεια, επίσης στη γνώση και χρήση τύπων τόσο στα Μαθηματικά όσο και στη Φυσική και Χημεία. Μεγάλη δυσκολία στη γενίκευση των ορθογραφικών κανόνων.

Μπορούν οι έφηβοι με Ε.Μ.Δ. να διδάσκονται και να χρησιμοποιούν σύνθετες στρατηγικές μάθησης; Μήπως η χρήση αυτών των στρατηγικών οδηγούν σε βελτιωμένη απόδοση για τα ακαδημαϊκά τους καθήκοντα;

Επιπρόσθετα, είναι αναγκαίο να τονίσουμε ότι η εφηβεία επιπλέον φέρνει μεγάλη αναστάτωση στα παιδιά, ειδικά σε εκείνα που έχουν διάγνωση για ΔΕΠ-Υ. Στην εφηβεία τα συμπτώματα της υπερκινητικότητας μειώνονται μεν αλλά σε ποσοστό 60% των παιδιών με διάγνωση ΔΕΠ-Υ αναπτύσσεται Εναντιωματική Προκλητική Διαταραχή ή Διαταραχή Διαγωγής. Οι έφηβοι με ΔΕΠ-Υ εμφανίζουν σχολική αποτυχία και νεανική παραβατικότητα. Παρουσιάζουν χαμηλή κοινωνική και συναισθηματική προσαρμογή, χαμηλό επίπεδο ανοχής στη ματαίωση, αυξημένη ανησυχία και νευρικότητα και ανώριμη συμπεριφορά. Όμως τα παιδιά με ΔΕΠ-Υ έχουν κατά 70% μαθησιακές δυσκολίες (Λαμπροπούλου, 2011). Οι τρείς πρωτογενείς παράγοντες της ΔΕΠ-Υ είναι η Απροσεξία (έλλειμμα προσοχής), η Παρορμητικότητα (αδυναμία αυτοελέγχου) και η Υπερκινητικότητα. Από αυτούς τους παράγοντες η Υπερκινητικότητα που σαφέστατα όσο περνάνε τα χρόνια μειώνεται, συγχρόνως δεν μας απασχολεί σοβαρά στο ζήτημα των Μ.Δ., οι άλλοι δύο παράγοντες είναι στο προσκήνιο, άρα είναι καθοριστική η επίδρασή τους στην σχολική υποεπίδοση. Τα άτομα με το σύνδρομο ΔΕΠ-Υ ή ΕΠΥ εξαιτίας των προβλημάτων αυτορρύθμισης, αναχαίτισης, αφύπνισης της αντίληψης, ρυθμού και μνήμης (προ πάντων μνήμης εργασίας), παρουσιάζουν μαθησιακές δυσκολίες ευρέος φάσματος (Λιβανίου, 2004).

Η μετάβαση από το δημοτικό στο γυμνάσιο

Η μετάβαση από την πρωτοβάθμια στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση μπορεί να προβληματίζει έως να προξενεί άγχος σε κάθε νεαρό άτομο, αλλά τα άτομα με Ειδικές Μαθησιακές Δυσκολίες (Ε.Μ.Δ.) ή άλλες ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες είναι κάτω από ακόμη μεγαλύτερη πίεση. Τα δημοτικά σχολεία προσφέρουν μεγαλύτερη προβλεψιμότητα καθώς οι περισσότερες ώρες περνούν με τον ίδιο δάσκαλο και στην ίδια τάξη, όλη τη σχολική χρονιά. Η μετάβαση στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση συνοδεύεται από πολλές αλλαγές, όπως είναι οι διαφορετικές σχολικές αίθουσες και βέβαια η εναλλαγή των καθηγητών.

Αν η μετάβαση από την πρωτοβάθμια στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση δεν αντιμετωπισθεί με κατάλληλο τρόπο, τα παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες ή ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες μπορεί να καταλήξουν απομονωμένα και ευάλωτα. Μια καλά σχεδιασμένη μετάβαση θα βοηθήσει να αρθούν τα εμπόδια στη μάθηση και θα επιτρέψει στους μαθητές να αναπτύξουν το πλήρες ακαδημαϊκό δυναμικό τους.

Είναι προφανές ότι οι όψιμες Μαθησιακές Δυσκολίες, που παρουσιάζονται στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση και αντιμετωπίζονται με την εκπαιδευτική στήριξη, την ειδική παρέμβαση μπορεί να βελτιώνονται αλλά δεν ξεπερνιούνται. Αποτελεί δυστυχώς κοινή διαπίστωση ότι με βάση τα αναλυτικά προγράμματα και το νομοθετικό πλαίσιο για τους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, δεν υπάρχει ιδιαίτερη ανάγκη εφαρμογής προγραμμάτων παρέμβασης, όσο αφορά στην αντιμετώπιση δυσκολιών στον τομέα της ανάγνωσης, της ορθογραφημένης γραφής και των μαθησιακών δυσκολιών στα μαθηματικά. Από μελέτη των νομικών ρυθμίσεων διαπιστώνεται ότι η απόκτηση του γραπτού λόγου στις βασικές του παραμέτρους αποτελεί αποκλειστική υπόθεση του δημοτικού σχολείου.

Ειδικότερα, όσο αφορά στη ρύθμιση για την αξιολόγηση των παιδιών με διαγνωσμένη δυσλεξία, τα προβλήματα στο γραπτό λόγο δε φαίνεται να συνιστούν εμπόδιο για τη μετάβασή τους στις επόμενες τάξεις του Γυμνασίου ή του Λυκείου. Παρά την αναμφισβήτητη χρησιμότητα καθώς και την ευρύτατη αποδοχή που έχει γνωρίσει η παραπάνω θεσμική μέριμνα, ωστόσο, όταν δεν παρέχει σαφείς πληροφορίες για το είδος και τον τρόπο υποστήριξης των μαθητών με παρόμοια προβλήματα, καθίσταται άκυρη και πολλές φορές συνιστά αφετηρία για την κατάχρηση και σύγχυση των εννοιών που συνδέονται με τις μαθησιακές δυσκολίες (Καρβούνης, 2004).

Συμπερασματικά, επισημαίνεται ότι η αναγκαία και καθοριστική για την μαθησιακή εξέλιξη των παιδιών διαδικασία παρέμβασης στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση, πρέπει να συνεχισθεί και στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Δεν πρέπει κάτι που ξεκίνησε και δίνει αποτελέσματα στα παιδιά, για να καλύψει την ακαδημαϊκή ανάπτυξη και πρόοδο αυτών των μαθητριών/των που την έχουν τόση ανάγκη.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Καραγιαννάκης, Γ. (2012). Οι Αριθμοί πέρα από τους Κανόνες. Αθήνα: Διερευνητική Μάθηση.

Καρβούνης, Μ. (2004). Αντιμετώπιση της Δυσλεξίας στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Ιωάννινα: Έκδοση Τόμου του Εργαστηρίου Ειδικής και Θεραπευτικής Αγωγής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων με τίτλο «Ειδική αγωγή και εκπαίδευση».

Λιβανίου, Ε. (2004). Μαθησιακές Δυσκολίες και Προβλήματα Συμπεριφοράς στην κανονική τάξη. Αθήνα: Εκδόσεις Κέδρος.

Λαμπροπούλου, Κ. (2011). Διαταραχή Ελλειμματικής Προσοχής-Υπερκινητικότητα. Στο Παπαδάτος, Γ. & Μπαστέα, Α. (Επιμέλεια). Θέματα Μαθησιακών Δυσκολιών & Δυσλεξίας. Αθήνα: Σμυρνιωτάκης.

Πηγή Άρθρου http://www.dyslexia.gr

Μαθηματικά και Μουσική

Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο.
Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται.που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου δηλαδή με βραχίονα, χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και «Πυθαγόρειος κανών» γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο και ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ΄ αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του «κόμματος του Διδύμου», που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9) δηλαδή 81/80).

Όμως, πώς ακριβώς πειραματίστηκαν οι Πυθαγόρειοι στο μονόχορδο,. για την ανάδειξη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής; Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο
Αν μειώσουμε λοιπόν το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος (μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) – μας δίνει, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω. Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Κι αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, σ’ αυτό το επίπεδο της παρατήρησης ότι τα μαθηματικά «κυβερνούν» τη μουσική. Το γεγονός ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής

Για τους Πυθαγορείους, αυτή η άμεση και ακριβής σχέση μαθηματικών, μουσικής και ευχάριστου ψυχικού συναισθήματος αποτελούσε τη μέγιστη απόδειξη ότι η αλήθεια, στο ύψιστο επίπεδό της, εκφράζεται με μαθηματικές σχέσεις. Πίστευαν, μάλιστα, ότι η ψυχή, μέσα από τα μαθηματικά και τη μουσική, μπορούσε να εξυψωθεί ώσπου να ενωθεί με το σύμπαν και ότι ορισμένα μαθηματικά σύμβολα έχουν αποκρυφιστική σημασία. Στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η ευρωπαϊκή μουσική μέχρι, τουλάχιστον, τη στιγμή που ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ, μέσω της σύνθεσής του «Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο» πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια – κάτι, παρεμπιπτόντως, που είχε προτείνει δύο χιλιάδες χρόνια πριν από τον Μπαχ ο Αριστόξενος, όμως δεν εισακούστηκε
Συμπερασματικά, παρά τον ηθικοθρησκευτικό χαρακτήρα της διδασκαλίας του, ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του διαμόρφωσαν φιλοσοφικές αρχές που επηρέασαν την πλατωνική και αριστοτελική διανόηση, κυρίως όμως συνέβαλαν στην ανάπτυξη των μαθηματικών, της μουσικής και της δυτικής φιλοσοφίας. Καθιέρωσαν την αντίληψη ότι η πραγματικότητα – συμπεριλαμβανομένης της μουσικής και της αστρονομίας- είναι στο βαθύτερο επίπεδό της μαθηματικής φύσης .

Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 10 τέλειο. Επειδή αυτός προκύπτει από το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών 1+2+3+4=10, του έδωσαν το όνομα «τετρακτύς». Κατά τον Θέωνα το Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μια εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα. Ενδεικτικά αναφέρω ότι η 4η τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία φωτιά, αέρα, νερό και γη, η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό, η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: τα 1,2,3 αντιστοιχούν με το λογιστικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, δηλαδή εκφράζουν την ψυχή, ενώ το 4 το σώμα.
Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 της 5ης τετρακτύος (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος) και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της. Ο κύβος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές και 12 ακμές. Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1, οι 8 και 6 την αναλογία 4/3 ενώ οι 12 και 8 την αναλογία 3/2. Επίσης ο αριθμός 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 12, ενώ το αριθμητικό μέσο των αριθμών αυτών είναι ο 9. Ο αρμονικός και αριθμητικός μέσος δίνουν την αναλογία 9/8. Έτσι προκύπτουν οι μαθηματικές αναλογίες βάση των οποίων κατασκευάζεται η μουσική κλίμακα κατά τους Πυθαγόρειους. Οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν και στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγόρας πάνω στο μονόχορδο το οποίο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του κύβου).
Με τη χορδή «ανοιχτή» δηλαδή σε θέση να μπορεί να ταλαντώνεται όλο το μήκος της (λόγος 1, συχνότητα 1), έκρουσε και άκουσε ένα μουσικό τόνο. Στη συνέχεια περιόρισε το μέρος της χορδής που ταλαντώνεται στο μισό της μήκος, και βρήκε ότι ο ήχος που ακούστηκε είναι η διαπασών, αυτό που σήμερα ονομάζουμε οκτάβα. Το ύψος λοιπόν του ήχου επηρεάζεται από το μήκος της χορδής και μάλιστα όταν η αναλογία του μήκους είναι 1/2 (συχνότητα 2/1) έχουμε το διάστημα της οκτάβας. Έτσι ορίστηκαν τα άκρα της μουσικής κλίμακας, η υπάτη και η νήτη. Στη συνέχεια μετακινώντας τον καβαλάρη σε διάφορα σημεία, βρήκε ότι αν ταλαντωνόταν τα 3/4 της χορδής (συχνότητα 4/3) προέκυπτε ο τέταρτος φθόγγος από τους οκτώ μιας μουσικής κλίμακας, η μέση, ενώ αν ταλαντωνόταν τα 2/3 της χορδής (συχνότητα 3/2) προέκυπτε ο πέμπτος φθόγγος, η παραμέση. Οι υπόλοιποι φθόγγοι της κλίμακας κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας το λόγο 9/8 ως εξής:
– Ο δεύτερος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πρώτου (υπάτη) αν τον πολλαπλασιάσουμε με 9/8: 1 x 9/8 = 9/8 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 8/9 της χορδής.
– Ο τρίτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του δεύτερου (9/8) αν και πάλι πολλαπλασιαστεί με 9/8: 9/8 x 9/8 = 81/64 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής.
– Ο έκτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πέμπτου (παραμέση) που πολλαπλασιάζεται με 9/8: 1:2/3 x 9/8 = 27/16 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 16/27 της χορδής.
– Τέλος, ο έβδομος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του έκτου και πάλι πολλαπλασιαζόμενου με 9/8: 1:16/27 x 9/8 = 243/128 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 128/243 της χορδής.

Πέρα από το μονόχορδο, ο Πυθαγόρας πειραματίστηκε και με άλλα υλικά και τις ιδιότητές τους που συνθέτουν τα μουσικά διαστήματα, όπως η τάση χορδών ίσου μήκους και πάχους, το μήκος ηχητικού σωλήνα κ.τ.λ. Ο χωρισμός και καθορισμός των μουσικών διαστημάτων που πέτυχε, ήταν ένα τεράστιας σημασίας επίτευγμα τόσο για τη μουσική και τη θεωρία της όσο και για τα μαθηματικά και τη δύναμή τους να ερμηνεύουν τον κόσμο με αριθμούς όπως εξάλλου δίδασκε και ο Πυθαγόρας. Πέρα από τη μεγάλη σημασία για τη θεωρία της μουσικής, ο υπολογισμός του έδωσε την ευκαιρία να κατασκευαστούν μουσικά όργανα με μεγαλύτερη ακρίβεια από πριν.
Με το πέρασμα του χρόνου, η Πυθαγόρεια μουσική κλίμακα τροποποιήθηκε είτε για πρακτικούς είτε για καθαρά φιλοσοφικούς λόγους, όμως ο Πυθαγόρας είχε δείξει έναν δρόμο που και οι σύγχρονες μουσικές κλίμακες ακολουθούν. Ακόμα και σήμερα υπολογίζουμε μαθηματικά τα μουσικά διαστήματα τα οποία βέβαια έχουν διαφοροποιηθεί σημαντικά από τότε.
Ο Αριστόξενος, νεότερος του Πυθαγόρα (περί το 375 π.Χ.) υπήρξε φιλόσοφος και σημαντικότατος θεωρητικός της μουσικής και του δόθηκε μάλιστα η ονομασία «ο Μουσικός». Η μέθοδός του ήταν κυρίως εμπειρική. Το σύστημα διδασκαλίας του βασίζεται σε αντίθεση με τον Πυθαγόρα, στην ικανότητα του αυτιού να αντιλαμβάνεται την αρμονική σχέση των μουσικών τόνων. Δεν ερευνά τις αριθμητικές σχέσεις μέσα στην οκτάβα, όμως καθορίζει τον ολόκληρο και τον μισό τόνο και κατασκευάζει μια κλίμακα με βάση το ένα δωδέκατο του τόνου.
Ο Ευκλείδης από την άλλη, έχει μια γεωμετρική πρόταση για τα μουσικά διαστήματα. Θεωρεί ότι αντιστοιχούν σε ευθείες γραμμές, με μία όμως διαφορά: ενώ οι ευθείες γραμμές που παράγονται ως αριθμοί, ορίζονται με δύο γράμματα ένα στην αρχή και ένα στο τέλος τους, τα μουσικά διαστήματα δηλώνονται με ένα γράμμα.


Στη σημερινή πραγματικότητα, τόσο η μουσική θεωρία, όσο και η μουσική πράξη, ερμηνεύονται με φυσικούς νόμους, που με τη σειρά τους διατυπώνονται με μαθηματικές σχέσεις.
Στην ακουστική (στον ιδιαίτερο κλάδο της φυσικής που έχει ως αντικείμενο τον ήχο και τις ιδιότητές του) ένα μουσικό διάστημα εκφράζεται σαν ο λόγος δύο συχνοτήτων. Σε ορισμένες περιπτώσεις ο λόγος είναι απλής μορφής όπως για παράδειγμα οι γνωστοί μας λόγοι της καθαρής πέμπτης (3/2), της καθαρής τετάρτης (4/3), της οκτάβας (2/1) κ.λ.π. Σε άλλες περιπτώσεις, ελλείψει μεγίστου κοινού διαιρέτη, οι όροι του λόγου είναι μεγάλοι αριθμοί όπως στο διάσχισμα (2048/2025). Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι είναι δύσκολη, αν όχι αδύνατη, η σύγκριση δύο μουσικών διαστημάτων.
Η απλούστευση στην παράσταση των μουσικών διαστημάτων επήλθε με τη βοήθεια της λογαριθμικής σχέσης
μέγεθος μουσικού διαστήματος = k * log(f2/f1)/log2
στην παραπάνω σχέση, όπου f1, f2 οι συχνότητες των φθόγγων του μουσικού διαστήματος και f2>f1. Το k είναι μια σταθερά η τιμή της οποίας καθορίζει και ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων.
Συγκερασμοί για τα μουσικά διαστήματα
Ανάλογα με τις τιμές της σταθεράς k (οι οποίες αφορούν διαίρεση της οκτάβας σε τόσα τμήματα όσο η αντίστοιχη τιμή), έχουμε κι ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Οι πιο γνωστές και χαρακτηριστικές τιμές της σταθεράς k, αναφέρονται στη συνέχεια.

ΤΙΜΗ ΣΤΑΘΕΡΑΣ k ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΜΟΝΑΔΑΣ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ
12 ……………..Συγκερασμένο Ευρωπαϊκό ημιτόνιο
53 ……………..κόμμα του Μερκάτορα
68 ……………..Αραβική μονάδα, βυζαντινό ηχομόριο
72 ……………..Βυζαντινό ηχομόριο
301 ……………Savart
665 ……………Delfi unit
1200 …………..cent

ΠΗΓΕΣ
Ελληνική ιστοσελίδα για τη Βυζαντινή μουσική , Focus , Πανελλήνιο Σχολικό δίκτυο